در آموزش مرتبط با شکل موج های AC، مختصرا به مقدار ولتاژ RMS شکل موج سینوسی پرداخته شد؛ که این مقدار RMS، معادل مقدار اثر گرمایی در یک منبع تغذیه DC است. در این آموزش نگاه گسترده‌تری به این تئوری خواهیم داشت و ولتاژ و جریانهای RMS را با جزئیات بیشتری بررسی می نماییم.
عبارت “RMS” مخفف “Root-Mean-Squared” به معنای جذر مربع میانگین می‌باشد و در بیشتر کتاب‌ها به این صورت یا مشابه آن تعریف میشود: “مقداری از برق متناوب (AC Power) را تولید می‌کند که معادل اثر گرمایی در برق مستقیم (DC Power) است” اما مقدار RMS فراتر از این است. مقدار RMS، جذر مربع متوسط (میانگین) مقدار مربع مقادیر لحظه‌ای است. نمادهایی که برای تعریف مقدار RMS استفاده میشود به صورت VRMS یا IRMS است.
اصطلاح RMS فقط به شکل موجهای سینوسی متغیر با زمان ولتاژ و جریان یا شکل موجهای پیچیده‌ای که دامنه شکل موج آن‌ها به مرور زمان تغییر می‌کند مرتبط است و در تحلیل مدارهای DC یا محاسباتی که دامنه آن‌ها مقدار ثابت دارد استفاده نمی‌شود.
زمانی که برای مقایسه مقدار ولتاژ RMS معادل یک شکلموج سینوسی متناوب استفاده میشود؛ که همان انرژی الکتریکی یک بار معین را در مدار DC تامین می‌کند، این مقدار RMS، “مقدار موثر” نامیده میشود و در حالت کلی به صورت Veff یا Ieff نمایش داده میشود.
به عبارت دیگر، مقدار موثر یک مقدار DC معادل است که به شما می‌گوید، چه مقدار ولت یا آمپر DC یک شکل موج سینوسی متغیر با زمان، برابر با توانایی معادل آن در تولید همان انرژی است.
برای مثال، منبع تغذیه در انگلستان برابر با 240Vac است.این مقداری است که برای نشان دادن مقدار موثر “240 ولت rms” فرض میشود. این بدین معنی است که ولتاژ rms سینوسی پریزهای دیواری یک خانه در انگلستان، قادر به تولید همان انرژی متوسط 240 ولتِ ولتاژ ثابت DC است که در زیر نشان داده شده است.
ولتاژ RMS معادل
چگونه میتوان ولتاژ RMS یک شکل موج سینوسی را محاسبه نمود؟ ولتاژ RMS یک شکلموج سینوسی یا پیچیده را میتوان با دو روش اساسی تعیین کرد:
- روش گرافیکی: که میتواند برای یافتن مقدار RMS هر شکل موج غیرسینوسی متغیر با زمان؛ با کشیدن تعدادی mid-ordinate روی شکل موج استفاده شود.
- روش تحلیلی: یک روش ریاضی برای یافتن مقدار موثر یا RMS هر ولتاژ یا جریان پریودیک با استفاده از محاسبات است.
روش گرافیکی ولتاژ RMS
با وجود اینکه، روش محاسبه برای هر دو نیمه شکل موج AC یکسان است اما برای این مثال، تنها نیم سیکل مثبت را در نظر خواهیم گرفت. مقدار موثر یا RMS یک شکل موج را میتوان با یک دقت معقول که با دقیقا برابر گرفتن فاصله‌ی مقادیر لحظه‌ای بدست می‌آید؛ محاسبه کرد.
نیمه مثبت شکل موج را میتوان به هر تعداد “n” قسمت مساوی یا mid-ordinate تقسیم بندی کرد و هرچه تعداد بیشتری mid-ordinate در امتداد شکل موج ترسیم شوند؛ نتیجه نهایی دقیق تر خواهد شد. عرض هر mid-ordinate برابر با n° و ارتفاع هر کدام از آن‌ها برابر با مقدار لحظه‌ای شکل موج در امتداد محور x آن خواهد بود.
روش گرافیکی
هرمقدار mid-ordinate شکل موج (در این حالت برای مثال شکل موج ولتاژ) در خودش ضرب شده (مربع) و سپس به مورد بعدی اضافه می‌گردد. این روش به ما “مربع” یا بخش مربع ولتاژ RMS را میدهد. سپس این مقدار مربع شده تقسیم بر تعداد mid-ordinate های استفاده شده برای به دست آوردن بخش متوسط ولتاژ RMS می‌گردد؛ که در مثال ساده ما در بالا، این تعداد برابر با 12 بود. سرانجام، با جذر گرفتن از مقدار محاسبه شده قبل، مقدار جذر مربع میانگین ولتاژ RMS یافت خواهد شد.
درنتیجه، می‌توانیم اصطلاحی را که برای توصیف ولتاژ RMS(VRMS) استفاده میشود؛ به صورت “ریشه دوم میانگین مربع های مقادیر mid-ordinate شکل موج ولتاژ” تعریف نمود و در نتیجه:
و برای مثال ساده ما در بالا، ولتاژ RMS به صورت زیر محاسبه میشود:
بنابراین اجازه دهید فرض کنیم که یک ولتاژ متناوب دارای یک ولتاژ پیک (Vpk)، 20 ولت است و مقدار mid-orinate برابر با 10، در یک نیم سیکل به صورت زیر تغییر می‌کند:
ولتاژ RMS ، بدین ترتیب محاسبه میشود:
در نهایت، مقدار ولتاژ RMS با استفاده از روش گرافیکی مطرح شده برابر با 14.14 ولت خواهد بود.
روش تحلیلی ولتاژ RMS
روش گرافیکی بالا، روش خوبی برای یافتن ولتاژ موثر یا RMS ولتاژ (یا جریان) یک شکل موج متناوب است؛ که ماهیت متقارن یا سینوسی ندارد. به عبارت دیگر، شکل ِ شکلموج باید شبیه شکل موج پیچیده باشد. اما هنگام سر و کار داشتن با شکل موج سینوسی خالص میتوان کار را آسان‌تر انجام داد و با استفاده از راه تحلیلی یا محاسباتی یک مقدار RMS را پیدا نمود.
یک ولتاژ سینوسی پریودیک، ثابت است و میتواند به صورت: با دوره T تعریف شود. درنتیجه میتوان مقدار جذر ریشه میانگین (rms) یک ولتاژ سینوسی (V(t)) را به صورت زیر به دست آورد:
با ادغام کردن محدودیتهای گرفته شده از 0 تا 360° یا “T”، دوره مقدار زیر را میدهد:
در جاییکه Vm بهعنوان مقدار پیک یا حداکثر شکل موج با تقسیم بر ω=2π/T، درنهایت پیچیدگی معادله فوق را به صورت زیر کاهش میدهد:
معادله ولتاژ RMS
ولتاژ RMS (VRMS) یک شکل موج سینوسی با ضرب مقدار ولتاژ پیک در مقدار 0.7071 تعیین میشود؛ که در واقع برابر با تقسیم مقدار ولتاژ پیک بر ریشه دوم عدد 2 است. ولتاژ RMS، که میتواند به عنوان مقدار موثر نیز شناخته شود؛ به اندازه شکل موج نیز بستگی دارد و تابعی از فرکانس شکل موج یا زاویه فاز آن نیست. از مثال گرافیکی بالا، که مقدار ولتاژ پیک شکل موج برابر با 20 ولت داده شده است. با استفاده از روش تحلیلی که ارائه نمودیم؛ میتوان ولتاژ RMS را به صورت زیر محاسبه نمود:
باید توجه داشت که این مقدار 14.14 ولت، همان مقدار روش گرافیکی قبلی است. از اینرو، همتوان از روش گرافیکی براساس mid-ordinate و هم روش تحلیلی برای محاسبات لازم برای یافتن مقادیر ولتاژ یا جریان RMS یک شکل موج سینوسی استفاده نمود.
و نیز توجه داشته باشید که ضرب نمودن مقدار پیک یا حداکثر در مقدار ثابت 0.7071، تنها برای شکل موجهای سینوسی قابل استفاده است و برای شکل موجهای غیرسینوسی باید از روش گرافیکی استفاده نمود.
اما همان گونه که میتوان از مقدار پیک یا حداکثر سینوسی استفاده نمود، امکان استفاده از مقدار پیک تا پیک (VP-P) یا مقدار متوسط (VAVG) نیز برای یافتن جذر مربع میانگین وجود دارد که زیر میتوان مشاهده نمود:
مقادیر RMS سینوسی
خلاصه ولتاژ RMS
برای جمع بندی، در هنگام کار با ولتاژهای متناوب (یا جریان‌ها)؛ با این مسئله روبرو هستیم که چگونه ولتاژ یا مقدار یک سیگنال را نشان دهیم. یک راه آسان، استفاده از مقادیر پیک برای شکل موج است. یک روش معمول دیگر، استفاده از مقدار موثر است که در بیان متداول تر با نام جذر مربع میانگین یا عبارت ساده مقدار RMS شناخته میشود.
جذر مربع میانگین یا مقدار RMS یک موج سینوسی با میانگین کل مقادیر لحظه‌ای یکسان نیست. نسبت مقدار ولتاژ RMS به حداکثر مقدار ولتاژ، همان نسبت مقدار جریان RMS به حداکثر مقدار جریان است.
بیشتر مولتیمتر یا ولت متر یا آمپرمترها، با فرض شکل موج سینوسی خالص، مقدار RMS را اندازه‌گیری می‌کنند. برای به دست آوردن مقدار RMS یک شکل موج غیر سینوسی،”مولتیمتر واقعی RMS” لازم است.
مقدار RMS شکل موج سینوسی، همان اثر گرمایی را دارد که جریان DC با همان مقدار دارد. اگر جریان مستقیم باشد، و از یک مقاومت R عبور کند؛ توان DC مصرفی توسط مقاومت برابر با I2R وات خواهد بود. اگر جریان متناوب باشد، و جریان از همان مقاومت بگذرد، توان AC تبدیل شده به گرما وات است.
درنتیجه، هنگام سروکار داشتن با ولتاژ و جریانهای متناوب، باید با آن‌ها به عنوان مقادیر RMS رفتار شود، مگر اینکه خلاف آن گفته شده باشد. بنابراین جریان متناوب 10 آمپر همان اثر گرمایی را دارد که جریان مستقیم 10 آمپر و حداکثر مقدار 14.14 آمپر دارد.
پس از تعیین مقدار RMS شکل موج ولتاژ متناوب (یا جریان)، در آموزش بعدی به محاسبه مقدار متوسط، VAVG ولتاژ متناوب خواهیم پرداخت و در نهایت این دو را با یکدیگر مقایسه خواهیم کرد.
