خانه » مفاهیم پایه الکترونیک » اعداد باینری » علامت اعداد باینری

علامت اعداد باینری

بازدید: 4319

Screenshot 2021-12-08 095044

علامت اعداد باینری

بازدید: 4319

علامت اعداد باینری (Signed Binary Numbers)

اعداد باینری علامت دار از MSB (پر ارزش­ترین بیت) به عنوان علامت بیت جهت نمایش محدوده مثبت یا منفی اعداد استفاده می­کنند.

در ریاضیات، جهت نمایش اعداد مثبت (شامل عدد صفر) معمولا از نوشتن علامت + در سمت چپ اعداد صرف نظر می­شود و به صورت اعداد بدون علامت نمایش داده می­شوند.

با این حال، جهت نمایش اعداد منفی، علامت – در سمت چپ اعداد نوشته خواهد شد، تا تمایز بین اعداد مثبت و منفی مشخص شود. اعداد باینری علامت دار نیز از قواعد مشابه در ریاضیات پیروی می­کنند.

این در حالی است که در مدارهای دیجیتال، هیچ پیش بینی ­ای جهت قرار دادن علامت مثبت یا منفی در کنار یک عدد تدارک دیده نشده است. زیرا عملکرد سیستم‌های دیجیتال بر اساس اعداد باینری است که به‌صورت صفر و یک نمایش داده می‌شوند. از کنار هم قرار گرفتن ارقام 0 و 1 در مدارهای میکروالکترونیک، مفهوم بیت (bit) پدید می­آید. همچنین مجموعه‌­ای متشکل از 8 بیت با نام یک بایت (byte) و یا یک مجموعه 16 بیتی (2 بایت) با نام کلمه (word) شناسایی می‌­شود.

با توجه به توضیحات مطرح شده در آموزش‌­های پیشین، یک عدد باینری 8 بیتی (یک بایت) می‌تواند مقادیری از 0 (0000 0000) تا 255 (1111 1111) را اخذ کند، به بیان دیگر  ترکیب متفاوت و مختلف از بیت­‌ها، که یک بایت 8 بیتی منحصر به فرد را تشکیل می­‌دهند. برای مثال عدد باینری بدون علامت 01001101 معادل مقدار دسیمال 77=1+4+8+64 خواهد بود. با این وجود سیستم‌­های دیجیتال و کامپیوترها نیز نیاز به استفاده از اعداد منفی مانند اعداد مثبت دارند.

در ریاضیات، هر عدد شامل یک مقدار (بزرگی) و یک علامت است. علامت نمایانگر مثبت و یا منفی بودن عدد و مقدار نشان دهنده اندازه عدد خواهد بود. ارائه اعداد توسط این روش با نام (علامت-بزرگی) شناخته می­‌شود، به این ترتیب اولین رقم از سمت چپ نماینده علامت عدد و باقی ارقام بزرگی عدد را معرفی خواهند کرد.

روش نمادگذاری علامت-بزرگی (Sign-magnitude) یکی از متداول­ترین روش‌­ها جهت نمایش اعداد مثبت و منفی است. بنابراین اعداد منفی با تغییر علامت عدد مثبت مربوطه بدست می‌­آید، زیرا هر عدد مثبت یا بدون علامت دارای یک عدد متناظر با علامت منفی است. برای مثال 2+ و 2- و یا 10 و 10- .

با این حال نمایش علامت اعداد باینری در حالی که تنها شامل مقادیر 0 و 1 هستند، چالش آفرین خواهد بود، از طرفی هر عدد تنها یکی از دو علامت + و یا – را اخذ خواهد کرد.

بنابراین کافیست، از یک بیت واحد جهت تعیین و نمایش علامت یک عدد باینری به عنوان مثبت یا منفی استفاده شود. به این ترتیب جهت نمایش یک عدد باینری مثبت (n+) و عدد باینری منفی (n-)، اعداد با افزودن یک علامت معرفی خواهند شد.

در اعداد باینری علامت دار، مهمترین بیت (MSB) به عنوان بیت معرف علامت استفاده خواهد شد. در صورتی که مقدار بیت علامت برابر 0 باشد، علامت عدد باینری مثبت خواهد بود و در صورتی که بیت علامت 1 باشد، علامت عدد باینری منفی است. بیت‌­های باقی مانده جهت نمایش بزرگی عدد باینری بدون علامت استفاده خواهند شد.

بنابراین در روش نمادگذاری علامت-بزرگی، مقادیر مثبت و منفی با تقسیم n بیت به دو قسمت حاصل می­شود. یک بیت واحد جهت نمایش علامت و n-1 بیت به عنوان نماینده‌­ی مقدار و بزرگی عدد خواهد بود. برای مثال، عدد دسیمال 53 را می­‌توان به صورت یک عدد باینری 8 بیتی علامت دار به صورت زیر معرفی کرد.

اعداد باینری علامت دار مثبت

اعداد باینری علامت‌دار منفی

یکی از نقاط ضعف استفاده از این روش کاهش محدوده ارقام عدد باینری خواهد بود. به بیان دیگر با اعمال این روش، یک محدوده کامل از اعداد باینری بدون علامت n بیتی به یک عدد باینری علامت‌دار n-1 بیتی تبدیل خواهد شد.

برای مثال در صورتی که چهار بیت جهت معرفی یک عدد باینری علامت دار وجود داشته باشد (یک بیت علامت و سه بیت بزرگی عدد را مشخص خواهند کرد.)، در این صورت محدوده حقیقی اعدادی که در روش علامت-بزرگی نمایش داده می­‌شوند به صورت زیر خواهد بود.

این در حالی است که، محدوده اعداد باینری چهار بیتی بدون علامت از 0 تا 15 معادل 0 تا F در دستگاه هگزادسیمال خواهد بود. اما با اعمال روش علامت-بزرگی محدوده نمایش اعداد به 7- تا 7+ کاهش یافته است. واضح است که اعداد باینری بدون علامت، محدوده اعداد بزرگتری را پوشش می‌دهند، زیرا در این اعداد MSB صرفا نشان دهنده علامت عدد نیست و یک رقم خواهد بود.

از دیگر چالش­‌های استفاده از روش علامت-بزرگی، اختصاص یک علامت صحیح برای عدد 0 خواهد بود. با استفاده از این روش می­‌توان دو علامت مختلف برای عدد صفر ایجاد کرد. یک صفر مثبت 0000 و یک صفر منفی 1000 این در حالی است که هر دو نمایش دارای اعتبار خواهد بود، بنابراین انتخاب علامت عدد صفر از دیگر مشکلات این روش است.

مثال شماره یک

با استفاده از روش علامت-بزرگی مقادیر دسیمال زیر، به صورت اعداد باینری علامت­دار ارائه خواهند شد.

جهت نمایش عدد باینری 4 ، 6 و 8 و 16 و 32 بیتی، تمام بیت‌­ها باید دارای مقدار باشند، از این رو از عدد 0 جهت پر کردن فاصله موجود بین بیت علامت در سمت چپ و نخستین بیت دارای مقدار بالا (یک) استفاده خواهد شد.

روش علامت-بزرگی یک روش ساده جهت درک مفهوم اعداد باینری علامت­دار است، عملکرد این روش مشابه با عملکرد سیستم اعداد اعشاری (مبنای 10) در ریاضیات است.

با این حال استفاده از روش علامت- بزرگی می­تواند منجر به تولید یک مقدار باینری مشابه توسط دو الگوی توزیع بیتی متفاوت شود. برای مثال هر دو الگوی باینری 0000 و 1000 نماینده عدد 0+ و 0- به عنوان یک عدد باینری چهار بیتی هستند. وجود دو نمایش متفاوت برای صفر (یک صفر مثبت و یک صفر منفی) موجب پیچیدگی­‌های زیادی در سیستم‌­های دیجیتالی خواهد شد.

روش مکمل 1 برای عدد باینری علامت‌دار

مکمل 1 روش دیگری جهت نمایش اعداد باینری منفی در سیستم اعداد باینری علامت­‌دار است. در این روش اعداد مثبت که با نام اعداد غیر مکمل شناسایی خواهند شد بدون تغییر باقی خواهند ماند.

اعداد منفی با استفاده از مکمل 1 (معکوس) اعداد مثبت ایجاد خواهند شد. از آنجا که اعداد مثبت همیشه با 0 آغازمی شوند، عدد مکمل همیشه با 1 آغاز می‌شود که نشان‌دهنده یک عدد منفی است.

مکمل 1 یک عدد باینری منفی، معادل مکمل 1  همتای مثبت آن عدد خواهد بود. بنابراین کافیست مقدار هر بیت با مقدار مجاز دیگر جایگزین شود. به بیان دیگر جهت تعیین مکمل 1 یک عدد باینری کافیست به ترتیب هر بیت با مقدار 0 به 1 و هر بیت با مقدار 1 به 0 تغییر داده شود. برای مثال مکمل 1 عدد باینری 10010100 با تبدیل ارقام 1 به 0 و همچنین ارقام 0 به 1 برابر با عدد 01101011 خواهد بود.

استفاده از اینورترها (Inverters) یکی از ساده­‌ترین روش­‌ها جهت یافتن مکمل 1 یک عدد باینری علامت­‌دار، در زمان ساخت مدارهای محاسبات باینری و یا مدارهای رمزگشایی منطقی (logic decoder circuits) است. اینورتر به صورت طبیعی یک تولید کننده مکمل 1 در مدار است، که می‌تواند جهت محاسبه مکمل 1 هر عدد باینری به صورت موازی در مدار الکتریکی مورد استفاده قرار گیرد.

مکمل 1 با استفاده از اینورتر

با توجه به توضیحات فوق، جهت یافتن مکمل 1 یک عدد باینری N کافی‌ست بیت­‌های 1 به 0 و به صورت مشابه بیت­‌های 0 به 1 تبدیل شوند، تا معادل منفی عدد N  تولید شود. همچنین مشابه با نمایش عدد باینری علامتدار در روش علامت-بزرگی در روش مکمل 1 نیز می­‌توان از نماد­گذاری (1-n)2- و 1-(n-1)2+ استفاده کرد. برای مثال،  یک نمایش 4 بیتی در قالب مکمل 1 می‌تواند جهت معرفی اعداد دسیمال در محدوده‌ای از 7- تا 7+ همانند روش قبل دو نمایش برای صفر، به‌ صورت 0000 (0+) و 1111 (0-) تولید کند.

جمع و تفریق با استفاده از مکمل 1

در ریاضیات، عملیات تفریق می­‌تواند با روش‌­های متفاوتی بیان و در نهایت اجرا شود. برای مثال تفاوتی در حاصل A-B و B+A- وجود ندارد و هر دو تنها دو بیان مختلف برای یک مسئله هستند. بنابراین، پیچیدگی‌­ها و چالش‌­های تفریق دو عدد باینری را می­‌توان با تبدیل تفریق به جمع کاهش داد.

در آموزش‌­های پیشین اشاره شد که جمع اعداد باینری از الگوی مشابه با جمع در ریاضیات پیروی می­کند، با این تفاوت که در سیستم اعداد باینری تنها دو عدد وجود دارد و بزرگترین رقم در این سیستم عدد 1 است (همانند رقم 9 که بزرگترین رقم در سیستم اعداد دسیمال است). بنابراین ترکیب احتمالی جمع اعداد باینری به صورت زیر بیان می­‌شود.

بر این اساس هرگاه دو عددی که با هم جمع می‌­شوند هر دو مثبت باشند، با استفاده از جمع مستقیم (شامل علامت بیت و بزرگی بیت) به یکدیگر اضافه خواهند شد. به این ترتیب حاصل جمع بیت­‌های واحد مانند 0+0 و 0+1 و 1+0 برابر با 0 و یا 1 خواهد بود. به همین علت حاصل جمع دو بیت متفاوت (0+1 یا  1+0) برابر با 1 است. به صورت مشابه، حاصل جمع دو بیت مشابه (0+0 یا 1+1) برابر با 0 خواهد بود تا زمانی که جمع 1+1 ظاهر شود که نتیجه آن یک 0 و یک 1 اضافی خواهد بود.

تفریق دو عدد باینری

در ادامه با استفاده از روش مکمل 1 تفریق دو عدد باینری 115 و 27 در یک سیستم دیجیتالی 8 بیتی ارائه می­‌شود.

در سیستم دسیمال (مبنای ده) حاصل تفریق 88=27-115 خواهد بود.

در گام نخست اعداد دسیمال به اعداد باینری تبدیل می­‌شوند و سپس با افزودن صفرهای اضافه از یکسان بودن تعداد بیت­‌های اعداد اطمینان حاصل می‌­شود. در نهایت آن­ها به اعداد 8 بیتی (یک بایت) تبدیل خواهند شد. بنابراین:

سپس مکمل عدد باینری منفی (27-) معادل عدد باینری 00011011 محاسبه خواهد شد، این در حالی است که عدد باینری اول 00011011 بدون تغییر باقی خواهد ماند. به این منظور با تغییر همه 1 ها به 0 و 0 ها به 1 مکمل عدد باینری 00011011 برابر با 11100100 خواهد بود.

حاصل جمع عدد باینری اول و مکمل عدد باینری دوم به صورت زیر ارائه می­شود.

از آنجایی که سیستم دیجیتال باید با 8 بیت کار کند، تنها 8 رقم نخست برای ارائه پاسخ مجموع کافی خواهد بود و بیت آخر (بیت 9) را نادیده گرفته خواهد شد. این بیت با نام اورفلو (overflow) شناخته می­شود. اورفلو زمانی رخ می­دهد که مجموع ستون سمت چپ یک رقم اضافی تولید کند. بیت اضافی می­تواند جهت محاسبات به سیستم دیجیتال بعدی منتقل شود و یا به طور کامل نادیده گرفته شود. اورفلو نشان دهنده پاسخ محاسبات عددی مثبت است در صورتی که اورفلو وجود نداشته باشد، عدد پاسخ، منفی خواهد بود.

حاصل محاسابات 8 بیتی فوق عدد  (با صرف نظر از بیت اورفلو) خواهد بود. جهت تبدیل مجدد پاسخ مکمل به پاسخ حقیقی، عدد 1 به نتیجه مکمل اضافه خواهد شد.

از این رو حاصل تفریق عدد 00011011 باینری معادل عدد دسیمال 27 از عدد 01110011 باینری معادل عدد دسیمال 115 با استفاده از روش مکمل 1 برابر با عدد 01011000 باینری معادل 88 دسیمال خواهد بود.

بنابراین حاصل جمع یا تفریق اعداد باینری علامت دار یا بی علامت، با استفاده از روش مکمل 1 به سادگی محاسبه خواهد شد. همچنین می‌توان از آدرس باینری TTL 74LS83 یا 74LS283 جهت اعمال عملیات­‌های جمع و تفریق دو عدد باینری علامت دار 4 بیتی و یا الحاق به هم برای تولید یک آدرس 8 بیتی کامل استفاده کرد.

روش مکمل 2 یک عدد باینری علامت دار

مکمل 2 روش دیگری مانند روش علامت-بزرگی و مکمل 1 جهت نمایش اعداد باینری منفی در سیستم اعداد باینری علامت دار است.

در روش مکمل 2 اعداد مثبت، دقیقا مشابه با اعداد باینری بدون علامت (مانند روش مکمل 1) خواهند بود. در حالی که، در این روش هر عدد منفی به صورت یک عدد باینری معرفی خواهند شد که حاصل جمع آن با معادل مثبت خود، برابر با صفر خواهد بود.

در روش مکمل 2، اعداد منفی با محاسبه مکمل 2 اعداد مثبت متناظر معرفی خواهند شد، همچنین انجام عملیات تفریق مشابه با روش قبل با تبدیل تفریق A-B به حاصل جمع (مکمل 2 B) +A امکان پذیر خواهد بود. به عبارت دیگر مکمل 2 همان مکمل 1+1 است.

مزیت اصلی روش مکمل 2 نسبت به مکمل 1، رفع مشکل ایجاد صفر مضاعف است و همچنین محاسبه مکمل 2 اعداد باینری بسیار ساده‌­تر از روش­‌های دیگر است. بنابراین، انجام عملیات‌­های محاسباتی به مراتب با معرفی اعداد در قالب روش مکمل 2 ساده­تر خواهد بود.

برای مثال حاصل تفریق دو عدد 8 بیتی 115 و 27 با استفاده از روش مکمل 2 به صورت زیر ارائه خواهد شد.

اعداد باینری فوق 8 بیتی هستند بنابراین 2 به توان 8 ترکیب از ارقام جهت نشان دادن مقادیر وجود دارند، که معادل باینری آن برابر با 100000000 باینری و یا عدد دسیمال 256 خواهد بود. حاصل مکمل 2 عدد دسیمال 27  به صورت زیر ارائه خواهد شد.

مکمل 2 یک عدد معادل با منفی همان عدد خواهد بود (محاسبه مکمل عدد 27+ آن را منفی خواهد کرد)، بنابراین جهت محاسبه تفریق دو عدد کافی‌ست حاصل جمع آن­ها محاسبه شود، به عبارت دیگر 115+ (مکمل 2 عدد 27)

با توجه به توضیحات مطرح شده درمثال قبل، از بیت اورفلو (بیت 9) صرف نظر خواهد شد.

خلاصه اعداد باینری علامت دار

یکی از روش­‌های نمایش اعداد باینری منفی استفاده از با ارزش­ترین بیت (MSB) به عنوان بیت علامت است. در این صورت یک عدد باینری n بیتی علامت دار، از n-1 بیت جهت نمایش بزرگی عدد و 1 بیت به عنوان بیت علامت استفاده خواهد کرد.

به عنوان مثال، در یک عدد باینری 4 بیتی علامت دار تنها 3 بیت برای نمایش عدد وجود دارد. این در حالی است که در یک عدد باینری بدون علامت می‌­توان از تمام بیت­‌های موجود جهت نمایش عدد استفاده کرد.

معرفی اعداد باینری علامت دار به طور معمول با نام نمادگذاری علامت-بزرگی شناخته می­‌شود، در صورتی که مقدار بیت علامت برابر با 0 باشد عدد مثبت و اگر برابر با 1 باشد عدد منفی خواهد بود. از طرفی هنگام انجام محاسبات بر روی اعداد باینری، استفاده از مکمل اعداد جهت معرفی عدد منفی بسیار ساده‌­تر خواهد بود. در واقع روش مکمل جایگزینی برای نمایش اعداد باینری منفی خواهد بود. این سیستم کدینگ جایگزین، امکان تفریق اعداد با استفاده از عملیات جمع ساده را فراهم می‌کند.

با توجه به اینکه در روش علامت-بزرگی اعداد مثبت همواره با صفر شروع خواهند شد، بنابراین مکمل آنها نیز همواره با 1 شروع می­‌شود که معرف عدد منفی خواهد بود.

مقایسه عدد باینری علامت دار 4 بیتی

روش­‌های مکمل 1 و مکمل 2 امکان نمایش اعداد منفی در سیستم شماره‌گذاری باینری را فراهم خواهند کرد. استفاده از روش مکمل 2 در محاسبات رایانه‌­ای جهت معرفی و مدیریت اعداد منفی بسیار رایج و مطلوب است. یکی از مشکلات استفاده از این روش جهت نمایش اعداد منفی، حذف بخشی از محدوده اعداد مثبت خواهد بود.

نظرتان را درباره این مقاله بگویید 52 نظر

علامت اعداد باینری

با ثبت نظر و نوشتن کامنت، تیم ما را در راستای بهبود و افزایش کیفیت محتوا یاری خواهید کرد :)

فهرست مطالب

مقالات مرتبط

مشاهده محصولات

بروزترین مقالات

این مقاله را با دوستانتان به اشتراک بگذارید!

2 دیدگاه در “علامت اعداد باینری

  1. Erfan گفت:

    سپاس ، خیلی استفاده کردم. در فقط جدول بالایی چندتایی از اعداد اشتباه نوشته شده اند.

  2. امیر گفت:

    در جدول اخر یک سری اعداد اشتباه محاسبه شده اند.لطفا اصلاح کنید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

یک + 11 =

فروشگاه